Elementarmathematik III: Präzisions- und by Felix Klein, C.H. Müller, F. Seyfarth PDF

By Felix Klein, C.H. Müller, F. Seyfarth

ISBN-10: 3642472117

ISBN-13: 9783642472114

ISBN-10: 3642475647

ISBN-13: 9783642475641

VI Jahren sichtlich immer mehr, insbesondere auch im Auslande, zur Gel tung. Aber nicht minder ist meine Dberzeugung (was ich nie unter lassen babe, hinzuzuftigen), daB ein solcher Unterricht, entsprechend der heutigen Entwickelung der Wissenschaft, ftir die Ausbildung der Fachmathematiker auf der Oberstufe nicht gentigt, daB hier vielmehr neben den Tatsachen der Anschauung die zentrale Bedeutung des modernen Zahlbegriffs und der weitgehenden mit ihm zusammen hangenden Entwickelungen hervortreten muB. Und nun vermisse ich in den Lehrbtichern und Vorlesungen, welche ich kenne, die Uber leitung von der einen Auffassung zur anderen. Hier will sich die fol gende Darstellung als eine Erganzung einschieben; ihr bestes Ziel wird erreicht sein, wenn sie sich eines Tages als tiberfliissig erweisen sollte, weil die Uberlegungen, die sie bringt, zu selbstverstandlichen Bestand teilen jedes hoheren mathematischen Unterrichts geworden sind. Gottingen, den 28. Februar 1902. F. Klein. Vorwort zur zweiten Auflage. Das Folgende ist im wesentlichen ein unveranderter Abdruck der ersten Ausgabe dieser Vorlesungen vom Jahre 1902. Nur an einzelnen Stellen sind einige Ungenauigkeiten verbessert, sowie in gelegentlichen Zusatzen Hinweise auf neuere Publikationen gegeben, die in engstem Zusammen hange mit den in der Vorlesung gegebenen Entwickelungen stehen. Am Schlusse ist ein Abdruck des, Gutachtens der Gottinger philosophischen Fakultat betreffend die Beneke-Preisaufgabe ftir 1901," auf das die Aus ftihrungen des Textes verschiedentlich Bezug nehmen, hinzugeftigt. Gottingen, den five. Januar 1907. C. H. Miiller. Vorwort zur dritten Auflage. Die Vorlesung F.

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Ist also x= 2;; 1, wo g eine beliebige ganze Zahl und a eine un- gerade ganze Zahl ist, so hat an dieser Stelle nicht nur die m-te Teilkurve eine Nullstelle, sondern auch jede folgende Teilkurve, und die Endkurve stimmt an dieser Stelle hinsichtlich ihrer Ordinate init der (m-1)-ten und allen folgenden Näherungskurven überein. Es gibt also auf der 44 Von den Funktionen reeller Veränderlicher. Endkurve Punkte, die zugleich auf der (m -1 )-ten Näherungskurve und allen folgenden Näherungskurven liegen.

0 X m +1 + 1 Das 'erste Glied der hier auftretenden unendlichen Reihe wird 1 Da + COS"'X + 1 X m +1 + 1 m 1 1 -20. Der Nenner Xm+l+ 1 schwankt zwischen Mithin ist: 1 + COS"'Xm+t > X m +1 + 1 = t und t. ~ 3 . Die folgenden Glieder der Reihe sind ebenfalls entweder positiv oder gleich Null, so daß auch die Summe der Reihe 2:t ist. Unter 'YJ' eine positive Zahl >1 verstehend und (-1J"'m. e = e' 'YJ setzend (so daß e' wie e zwischen -1 und +1 liegt), können wir jetzt schreiben: :Y~ - :)10 = (-1)"'mambm1]' (~+ e' ~_).

N Die theoretische Betrachtung beginnt mit der Summe 5 = LI X p ' 1f t (x), 2: 1 wo n die Zahl der Intervalle irgendeiner Unterteilung des Intervalles a <:: x <:: bund Ip (x) irgendeine Ordinate in dem Teilintervall LI x p bedeutet, und untersucht, wie sich diese Summe verhält, wenn die Maximallänge Ll n der Teilintervalle gegen Null konvergiert, und damit natürlich n unbegrenzt wächst. Ergibt sich ein Grenzwert für jede der Bedingung Ll n ~ 0 genügende Folge von Unterteilungen und jede Wahl der I p (x), b so bezeichnen wir ihn mit J/(x) dx und nennen ihn das bestimmte Intea gral von I (x) zwischen den Grenzen a und b.

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Elementarmathematik III: Präzisions- und Approximationsmathematik by Felix Klein, C.H. Müller, F. Seyfarth


by Anthony
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