Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen by Prof. Dr. Otto Greuel, Dr. rer. nat. habil. Horst Kadner PDF

By Prof. Dr. Otto Greuel, Dr. rer. nat. habil. Horst Kadner (auth.)

ISBN-10: 3322007227

ISBN-13: 9783322007223

ISBN-10: 366312195X

ISBN-13: 9783663121954

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Eine analoge Aussage konnte im Reellen nieht gemaeht werden! 7) ebenfalls holomorph in G. Sindf(z) und g(z) holomorph, dann ist der Quotient ~~ fiir g(z) =1= 0 ebenfalls holomorph. Fiir einige eletnentare komplexe Funktionen sollen die Ableitungen bestimmt werden. 1. w = fez) = c (komplexe Konstante). 5) folgt f'(z) = lim c - c Az ~Z"'O 2. w = fez) = zn (n d dz [zn] =1= = lim 0 ~Z""O = 0 -+ ~ [c] = o. 10) 0, ganz). Es gilt = nzlJ-l. 11) Der Beweis erfolgt formal wie im Reellen: a) n E N. 11) leicht durch vollstandige Induktion bewiesen werden.

6 treu ist, heij3t konform (oder iihnlich im Kleinen). 7 konform. '(z) =l= 0 aber nicht nur schlechthin in kleinsten Teilen maBstabs- und winkeltreu, sondern es bleibt auch der Drehsinn des Winkels erhalten. Man spricht in diesem Fall auch von konformer Abbildung 1. Art oder eigentlich konformer Abbildung. 1st neben der MaBstabstreue in kleinsten Teilen bei einer Abbildung Winkeltreue vorhanden, wobei sich aber der Drehsinn des Winkels. umkehrt, dann spricht man von konformer Abbildung 2. Art. _ 1st w = J(z) eine holomorphe Funktion, dann wird durch w = J(z) eine konforme Abbildung 2.

1st w =1= 0 gegeben, dann gibt es n verschiedene Werte z, fUr die z" = wist. Jeder dieser Werte heiBt n-te Wurzel aus w. In der Literatur ist es hiiufig iihlich, dafiir z = zu schreiben und darunter fiir k = 0, 1,2, ... 30) zu verstehen. 2. Ganze rationale Funktionen Ein Polynom oder eine ganze rationale Funktion n-ten Grades der komplexen Veriinderlichen z ist fUr i = 0, 1,2, ... , n und mit at als komplexen Konstanten erkUirt durch W == P,,(z) = 00 + 0IZ + 02Z2 + .. , +0nz" n = L Otzt. 31) P,,(z) ist in der ganzen z-Ebene holomorph.

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by Brian
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