By C.Feuillet, I.Selon

ISBN-10: 2011819040

ISBN-13: 9782011819048

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En d’autres termes : lim g ◦ f (x) = lim g(y). x→a y→b Démonstration 1. 1. 2. Fixons ´ > 0. g admet c comme limite en b donc : ∃d > 0 ∀y ∈ B 56 y−b F d ⇒ g(y) − c G ´. Rapport CCP, 2002 « Le langage est très souvent d’une rare imprécision : par exemple, sur une indétermination du type l’inﬁni à la puissance 0, un candidat dira que la limite est 1 car “l’exposant l’emporte sur la limite” ». 2. Topologie, étude locale des applications Un tel d > 0 étant déterminé, on sait aussi que : ∃m > 0 ∀x ∈ A x −a E m⇒ f (x) − b d.

Soit E = R2 et, pour tout x = (a, b) de R2 , √ N(x) = a 2 + 2ab + 5b2 . (E, 2 Montrer que N est une norme sur R . Soit E un C-espace vectoriel et w une forme sesquilinéaire sur E. Montrer : ∀x ∈ E w(x, x) ∈ R ⇔ ∀ (x, y) ∈ E 2 w(y, x) = w(x, y). Montrer que, si la norme de l’espace vectoriel (E, ) est associée à un produit scalaire complexe w, on a, pour tous x et y de E : x + y = x + y ⇔ (∃ l 0) (x = ly ou y = lx). Et si la norme n’est pas associée à un produit scalaire ? 1) Donner une condition nécessaire et sufﬁsante sur les complexes u et v pour que : |u + v| = |u| + |v|.

Extension au cas d’une variable vectorielle dont la norme tend vers +∞ Soit f une fonction d’une partie A non bornée d’un espace vectoriel normé de dimension ﬁnie (E, ), à valeurs dans R. 53 Maths, MP-MP∗ • On dit que f tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ si : ∀´ > 0 ∃ K > 0 ∀x ∈ A x • On dit que | f | tend vers +∞ lorsque ∀M > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ A K ⇒ | f (x)| x ´. tend vers +∞ si : x K ⇒ | f (x)| M. Exemple : Soit f de R2 dans R, déﬁnie par : f (x, y) = x exp(−(x 2 + y 2 )). Cette fonction tend vers 0 lorsque (x, y) tend vers +∞.